Mathématiques du génie électrique (Mise à niveau) — Chapitre 4 · Les nombres complexes et les phaseurs

Le chapitre 4 du cours de mise à niveau : le pont entre vos mathématiques et vos cours de circuits.

Au chapitre 1, l'équation x² = −4 restait sans solution. Au chapitre 3, additionner deux signaux sinusoïdaux demandait une page de trigonométrie. Ce chapitre règle les deux d'un coup, en introduisant un nombre nouveau dont le carré vaut −1. C'est le chapitre qui transforme l'analyse des circuits en courant alternatif : une bobine devient jωL, un condensateur devient 1/(jωC), et la loi d'Ohm s'applique telle quelle.

Le fil conducteur est un cas d'atelier. Chez BORÉAL, entreprise manufacturière de la région de Québec, deux départs alimentent le même jeu de barres. Le premier appelle 12.00 A, le second 9.00 A, déphasés de π/3. La personne responsable de la maintenance veut connaître l'amplitude du courant total pour choisir le calibre de la protection commune. La réponse est 18.25 A, et non 21.00 A comme le suggérerait une addition naïve : un écart de 13 %, qui se paie en dimensionnement. Trois lignes de calcul complexe suffisent à l'établir, et vous les referez vous-même à l'avant-dernière section.

Ce que vous recevez

Le chapitre complet, 36 pages : 24 équations numérotées, 7 figures, 5 tableaux, une autoévaluation d'entrée corrigée, 32 questions groupées en six sous-thèmes, 10 exemples résolus, 8 exercices, 3 problèmes pratiques et un problème de synthèse daté, construit sur un relevé d'analyseur réel avec ses exigences de rapport.

Le cahier de solutions détaillé, 24 pages, inclus : la démarche complète de chaque activité, le résultat de contrôle, le renvoi à la section du chapitre et la grille d'évaluation du problème de synthèse.

La version interactive du chapitre, à ouvrir dans votre navigateur : l'autoévaluation corrigée sur place et deux exercices à valeurs personnalisées, le module d'un nombre complexe et le module d'une impédance complexe, dont les nombres changent à chaque nouveau tirage, avec correction immédiate.

Les 7 présentations du chapitre, 123 diapositives, en PDF. Les capsules vidéo correspondantes arrivent prochainement.

Ce que vous saurez faire

Écrire un quotient de nombres complexes sous forme algébrique en multipliant par le conjugué du dénominateur. Calculer un module et un argument principal, avec la précaution de signe que la fonction arccos impose. Passer d'une forme d'écriture à l'autre et choisir la plus efficace pour un calcul donné. Employer les formules de Moivre et d'Euler, et linéariser une puissance de cosinus ou de sinus, ce qui est l'opération même qui révèle le contenu harmonique d'un signal distordu. Déterminer les n racines n ièmes d'un nombre complexe et reconnaître le polygone régulier qu'elles forment, celui-là même qui donne le diagramme des phaseurs d'un réseau triphasé. Résoudre toute équation du second degré dans ℂ, et lire dans le signe de la partie réelle des racines si un circuit oscillant est stable. Établir la nature d'un triangle par un simple quotient d'affixes. Et surtout : écrire le phaseur d'une grandeur sinusoïdale, calculer l'impédance complexe d'un circuit série, en déduire le courant efficace et le déphasage, puis revenir au domaine du temps.

Deux points font la différence entre un calcul juste et un travail professionnel. D'abord, le choix de la forme d'écriture : additions sous forme algébrique, produits et quotients sous forme exponentielle. Un calcul mené dans la mauvaise forme reste juste, mais il coûte dix fois plus de lignes. Ensuite, le module d'un phaseur est la valeur efficace de la grandeur, celle qu'affiche un voltmètre, et non l'amplitude du signal : le cours tient cette distinction du début à la fin.

Deux conventions d'écriture propres à l'académie

La réactance capacitive est comptée négative, X_C = −1/(Cω), de sorte que les réactances s'additionnent : Z̄ = R + j(X_L + X_C). Une seule règle remplace deux cas particuliers, et les erreurs de signe disparaissent. La tension entre lignes d'un système triphasé se note V_L, jamais U, ce qui évite toute confusion avec la tension simple entre phase et neutre.

Les capsules vidéo

Les capsules vidéo des sept parties du chapitre arrivent prochainement. Elles suivront exactement les 123 diapositives fournies ici, partie par partie : environ deux heures de contenu commenté au total. Les présentations en sont les supports, vous pouvez donc travailler le chapitre entièrement dès maintenant, sans attendre les vidéos.

Travail en autonomie

Aucun encadrement n'est nécessaire. Chaque activité possède sa réponse brève dans le chapitre, la démarche détaillée est dans le cahier, et les critères de réussite du problème de synthèse sont écrits : c'est vous qui validez votre travail.

Prérequis

Quatre notions : la résolution d'une équation du second degré avec son discriminant, ce qui est le chapitre 1 de ce cours ; le cercle trigonométrique, les valeurs remarquables de cos et sin et la mesure en radians, ce qui est le chapitre 3 ; les identités trigonométriques de base ; et la manipulation algébrique courante. Aucune notion d'électricité n'est requise : le phaseur, l'impédance complexe et le déphasage sont définis au moment où ils servent. Le chapitre 2 n'est pas un prérequis. Le chapitre 3, en revanche, l'est directement : un phaseur est le résumé d'un signal cosinusoïdal.

La suite

Chapitre 5 : la dérivation, où multiplier un phaseur par jω se révélera être exactement une dérivation. Plus loin, tous les cours de circuits en courant alternatif de l'académie emploient le langage installé ici. Le chapitre 1, Le second degré, reste offert gratuitement si vous souhaitez commencer par lui.

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