Test d’évaluation Analyse fonctionnelle

Test d’évaluation — Analyse fonctionnelle (Master 1)

Ce test d’évaluation, destiné aux étudiants de Master 1, vise à mesurer la maîtrise des concepts fondamentaux d’analyse fonctionnelle et de théorie des espaces normés. L’épreuve couvre des thèmes clés : dimension algébrique des espaces vectoriels normés, propriétés métriques dans les espaces de suites ℓ1 et ℓ2, notions de convergence dans des espaces de fonctions (convergence simple vs. convergence dans la norme), ainsi que la vérification rigoureuse de propriétés normiques pour des formes quadratiques pondérées.

Compétences évaluées

• Identifier et justifier des situations garantissant que la dimension algébrique d’un espace normé est infinie.
• Travailler avec des suites numériques dans les espaces ℓ1 et ℓ2 : montrer l’appartenance à ces espaces, calculer des distances associées aux normes et interpréter les résultats.
• Analyser la convergence de suites de fonctions dans C([0,1]) : établir la convergence simple (ponctuelle) puis décider de la convergence dans la métrique donnée (convergence en norme) en justifiant rigoureusement.
• Contrôler si une application définie à partir d’une forme quadratique (intégrale pondérée) satisfait les propriétés d’une norme (positivité, homogénéité, inégalité triangulaire) sur un espace fonctionnel donné.
• Rédiger des preuves courtes, structurées et rigoureuses, en mobilisant des outils classiques (décomposition en parties disjointes, inégalités, théorèmes de convergence, propriétés des normes L² pondérées, etc.).