Éléments de mathématiques pour le XXIe siècle, volume 3
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L'aperçu téléchargeable (ci-dessus) est un extrait de la version papier (ISBN 978-2-9569666-3-0), disponible sur Amazon. Les contenus des deux versions sont strictement identiques, mais la version numérique (PDF) dispose en plus de liens hypertextes.
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Ce livre est le troisième volume d’une série qui doit, à terme, couvrir l’ensemble des notions du premier cycle universitaire en mathématiques, tout en débordant largement sur le deuxième cycle. De manière plus générale, cette série d’ouvrages pourra être utile à toute personne s’intéressant aux mathématiques actuelles. Elle devrait, en théorie, être accessible même sans connaissance préalable. En effet, les mathématiques sont prises à leur début et les différents concepts progressivement construits, chaque définition, théorème et démonstration ne faisant appel qu’à ce qui a été défini précédemment.
Chaque ouvrage se veut à la fois
Les quatre premiers volumes traitent des fondements modernes des mathématiques. Ce troisième volume est consacré à :
Ce livre est au format PDF, sans restriction (pas de DRM, de mot de passe, d'interdiction de copie...). Il est donc lisible sur n'importe quel appareil prenant en charge ce format. Le seul dispositif de protection est un marquage personnalisé, dans l'en-tête de chaque page (email de l'acheteur et date de la transaction).
Aperçu
L'aperçu téléchargeable (ci-dessus) est un extrait de la version papier (ISBN 978-2-9569666-3-0), disponible sur Amazon. Les contenus des deux versions sont strictement identiques, mais la version numérique (PDF) dispose en plus de liens hypertextes.
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Ce livre est le troisième volume d’une série qui doit, à terme, couvrir l’ensemble des notions du premier cycle universitaire en mathématiques, tout en débordant largement sur le deuxième cycle. De manière plus générale, cette série d’ouvrages pourra être utile à toute personne s’intéressant aux mathématiques actuelles. Elle devrait, en théorie, être accessible même sans connaissance préalable. En effet, les mathématiques sont prises à leur début et les différents concepts progressivement construits, chaque définition, théorème et démonstration ne faisant appel qu’à ce qui a été défini précédemment.
Chaque ouvrage se veut à la fois
- didactique, avec des preuves très détaillées, des explications informelles, et de nombreux exemples et contre-exemples ;
- complet, voire encyclopédique, avec un exposé de nombreuses notions, des théorèmes tous démontrés, et de nombreux détails historiques ;
- synthétique, avec en particulier la volonté de multiplier les points de vue.
Les quatre premiers volumes traitent des fondements modernes des mathématiques. Ce troisième volume est consacré à :
- des compléments de théorie des ensembles, notamment l'étude de la notion d'ordinal (qui étend le principe permettant d'ordonner un ensemble fini) et de celle de cardinal (qui étend le principe permettant de dénombrer un ensemble fini), et la présentation de deux exemples de théories alternatives des ensembles (autres que la théorie standard de Zermelo-Fraenkel exposée dans le volume 2) : les théories des classes de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) et de Morse-Kelley (MK), et la théorie New Foundations with Urelements [Nouveaux Fondements avec Uréléments] (ou NFU) ;
- des compléments d'algèbre et de mathématiques discrètes, qui concernent les groupes et les anneaux (notamment la notion d'anneau quotient, permettant la construction des anneaux Z/nZ des entiers modulo n), et la théorie élémentaire des nombres (divisibilité dans N et Z, pgcd et ppcm...) ;
- l'introduction de différentes théories mathématiques plus avancées : la théorie des modèles, qui étudie les relations pouvant exister entre des théories formelles et certaines structures algébriques, la théorie de la calculabilité, qui s'intéresse à la formalisation du concept d'algorithme et permet de démontrer certains théorèmes dits de limitation (comme les théorèmes d'incomplétude de Gödel), et la théorie des catégories et plus précisément celle des topos, qui est le cadre dans lequel est présentée une autre théorie alternative des ensembles, la théorie élémentaire de la catégorie des ensembles de William Lawvere.