La conjecture de Sendov

En 1958, Balgovest Sendov, lorsqu’il travaillait comme assistant du professeur N.
Obreshkov, a soulevé la question suivante : supposons que tous les zéros d’un polynôme
P à coéfficients complexes se trouvent dans le disque unité fermé, existe-il
un point critique, c’est à dire un zéros de polynôme dérivé de P, dans une boule
centrée sur un zéro de P et de rayon un ?
La conjecture a été inclus dans le livre de W. Hayman, en 1967, des problèmes de
recherche rassemblés.
La conjecture de Sendov s’inscrit naturellement dans la ligne classique de la géométrie
des polyômes et en même temps elle a des liens étroits avec la théorie du
potentiel et la théorie des opérateurs.
Mon projet comporte trois chapitres, le premier chapitre concerne les polynômes
complexes qui contient la relation entre les racines et les coéfficients, puis un chapitre
sur la conjecture de Sendov qui explicite quelques cas simples de la conjecture.
Vers la fin, on fait un lien avec la conjecture de Sendov et la distance de Hausdorff
dans le dernier chapitre.
La conjecture de Sendov est vérifiée dans les cas suivants :
– Tous les zéros sont réels.
– Tous les zéros appartiennent au cercle unité.
– Tous les zéros sont contenues dans le disque unité fermé, et au moins une se
trouve au centre du disque.
– Si l’enveloppe convexe des zéros forme un triangle.